ผลกระทบประการหนึ่งของความสำเร็จอันน่าทึ่งของ
A Briefเว็บสล็อต History Of Time (Bantam, 1988) ของ Stephen Hawking คือการขยายตัวของตลาดสำหรับการเขียนวิทยาศาสตร์ที่เป็นที่นิยม คณิตศาสตร์ใช้เวลาไม่นานในการดำเนินการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อ Andrew Wiles จับภาพจินตนาการของสาธารณชนด้วยการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ตอนนี้เกือบหนึ่งเดือนผ่านไปแล้วหากไม่มีหนังสือคณิตศาสตร์ยอดนิยมเล่มใหม่ บางอย่างเกี่ยวกับปัญหาที่ยังไม่แก้ที่มีชื่อเสียง อื่นๆ เกี่ยวกับตัวเลขที่น่าสังเกต เช่น ศูนย์ π หรือeและยังมีปัญหาอื่นๆ รวมถึงสูตร Fabulous Formula ของ Dr Eulerโดย Paul Nahin เป็นเรื่องเกี่ยวกับสมการที่สำคัญ
Leonhard Euler เชื่อมโยงค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์พื้นฐานบางอย่าง เครดิต: AKG IMAGES
คณิตศาสตร์ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะอธิบาย และผู้เขียนหลายคนที่เขียนคณิตศาสตร์ยอดนิยมต่างพยายามไม่ให้ผู้อ่านหลงทาง โดยอาจนึกถึงคติพจน์ที่โด่งดังของ Hawking ที่ว่าสมการแต่ละสมการที่รวมอยู่ในหนังสือจะทำให้ยอดขายลดลงครึ่งหนึ่ง แต่ถ้าเช่นเดียวกับผู้อ่านNature ส่วนใหญ่ คุณรู้คณิตศาสตร์อยู่แล้ว? จากนั้นหนังสือที่หลีกเลี่ยงสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ก็มักจะคลุมเครืออย่างน่าผิดหวัง อย่างไรก็ตาม โชคดีที่ในบรรดาหนังสือที่เพิ่งปรากฏเมื่อเร็วๆ นี้ มีบางเล่มที่อาจเรียกได้ว่า ‘กึ่งนิยม’ เนื่องจากยังค่อนข้างไม่เป็นทางการแต่มุ่งเป้าไปที่ผู้ฟังที่มีความชำนาญทางคณิตศาสตร์มากกว่า Fabulous Formula ของ Dr Eulerเป็นส่วนเสริมที่น่ายินดีสำหรับหมวดหมู่นี้
ฮีโร่ของหนังสือเล่มนี้คือ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (1707–83) ซึ่งเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่เก่งกาจที่สุดเท่าที่เคยมีมา ยังคงตีพิมพ์เอกสารจำนวนมากต่อไปแม้จะตาบอดในปี ค.ศ. 1766 “สูตรมหัศจรรย์” ของชื่อเรื่องก็คือร่วมกับ ทั่วไปมากขึ้น สมการเหล่านี้สร้างความประหลาดใจให้กับนักคณิตศาสตร์รุ่นใหม่ๆ แต่ละคนที่พบพวกเขา: หากปราศจากความช่วยเหลือจากการเข้าใจถึงปัญหาย้อนหลัง ใครจะเคยสงสัยว่ามีสมการสั้นๆ เช่นนี้เกี่ยวกับe , iและ π? นาฮินไม่ได้กังวลเป็นพิเศษกับปัญหาทางปรัชญาที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งได้กล่าวถึงในหนังสือเรื่องแรกของเขาที่มีเทคนิคน้อยกว่าAn Imaginary Tale: the Story of √ − 1(สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน, 1998). แต่เขาใช้สูตรของออยเลอร์เป็นจุดเริ่มต้นและแสดงให้เห็นถึงการใช้งานที่หลากหลายซึ่งได้นำไปใช้
ในฐานะวิศวกร มุมมองของ Nahin
เกี่ยวกับสูตรนั้นแตกต่างจากของนักคณิตศาสตร์ทั่วไป นี่เป็นสิ่งที่ดีโดยส่วนใหญ่: มีนักคณิตศาสตร์ไม่มากที่รู้มากเกี่ยวกับการประมวลผลสัญญาณหรือความสำคัญของตัวเลขที่ซับซ้อนสำหรับวิศวกร และเป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะค้นหาเกี่ยวกับวิชาเหล่านี้ ยิ่งไปกว่านั้น มีความเป็นไปได้ที่นักคณิตศาสตร์จะยึดติดกับรายละเอียดที่นาฮินมองข้ามไปอย่างสนุกสนานและถูกต้อง อย่างไรก็ตาม ภูมิหลังของเขาก็มีข้อเสียอยู่บ้างเช่นกัน เช่น เมื่อเขากล่าวถึงสูตรเมทริกซ์ของทฤษฎีบทของเดอ มอยร์ ผลลัพธ์พื้นฐานที่ (cos θ + i sin θ ) n =cos( nθ )+ i sin( nθ). นี่เป็นผลสืบเนื่องเพียงบรรทัดเดียวของการบวกสูตรสำหรับไซน์และโคไซน์ แต่การพิสูจน์ของเขาใช้เวลาถึงหกหน้าอย่างไม่น่าเชื่อและใช้ทฤษฎีบทเคย์ลีย์–แฮมิลตันโดยไม่จำเป็น ซึ่งเขาพิสูจน์ในสองมิติด้วยกำลังดุร้าย ถึงแม้ว่าการพิสูจน์จะยังไม่สมบูรณ์: ณ จุดหนึ่งเขาบอกว่าเขาจะ “แนะนำหนังสือเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้นดีๆ เล่มไหนก็ได้เพื่อการพิสูจน์ที่เป็นทางการ” ผู้อ่านที่มีประสบการณ์น้อยจะโผล่ออกมาจากหน้าเหล่านี้โดยคิดว่าทฤษฎีบทของเดอมอยร์เป็นผลลัพธ์ที่ยากอย่างน่ากลัว ซึ่งน่าเสียดายที่มันไม่ได้เป็นเช่นนั้น
บางครั้ง Nahin ก็เปิดเผยสัญชาตญาณของวิศวกรของเขาด้วยการพิสูจน์อย่างเป็นทางการและใช้การจำลองเชิงตัวเลขแทน ในสถานที่นี้ใช้ได้ผลดี — ถ้าผลลัพธ์ที่น่าเชื่อถือ หลักฐานก็ไม่จำเป็นเสมอไปในหนังสือแบบนี้ — แต่บางครั้งมันก็อาจทำให้ผู้อ่านทางคณิตศาสตร์ไม่ใส่ใจ ตัวอย่างเช่น เขาพูดถึงปัญหาที่เมาส์วิ่งด้วยความเร็วคงที่เป็นวงกลม และแมวที่เริ่มที่จุดศูนย์กลางของวงกลม วิ่งด้วยความเร็วคงที่ตรงเข้าหาเมาส์ตลอดเวลา แมวจับหนูหรือไม่? ใช่ ถ้ามันวิ่งเร็วกว่าเมาส์ ในระหว่างการอภิปราย จู่ๆ นาฮินก็ละทิ้งวิชาคณิตศาสตร์และใส่การประมาณที่ไม่ต่อเนื่องในคอมพิวเตอร์ของเขาเพื่อสร้างไดอะแกรมบางส่วน เหตุผลของเขาคือสูตรการวิเคราะห์ตำแหน่งของแมวนั้นหาได้ยาก
คำถามที่ Nahin ไม่ได้มีส่วนร่วมคือว่าจำนวนเชิงซ้อนนั้นจำเป็นต่อการโต้แย้งของเขาหรือไม่ นั่นคือความกระตือรือร้นของเขาสำหรับจำนวนเชิงซ้อนที่เขาเขียนราวกับว่ามันเป็นเสมอ แต่มีข้อแตกต่างอย่างมากระหว่างอาร์กิวเมนต์ที่ใช้ทั้งการบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อนกับอาร์กิวเมนต์ที่ใช้การบวกเพียงอย่างเดียว (ในกรณีนี้ จำนวนเชิงซ้อนเป็นเพียงสัญกรณ์ที่สะดวกสำหรับระนาบจริง) ตัวอย่างเช่น เขาใช้พวกเขาในการวิเคราะห์ปัญหาแมวและเมาส์ด้านบน แต่เขาไม่จำเป็นต้องทำ ที่อื่นเขาบอกอย่างชัดแจ้งว่าเขาใช้จำนวนเชิงซ้อนในลักษณะพื้นฐาน เมื่อไม่ได้ใช้ ตัวอย่างเช่น เพื่อแสดงให้เห็นว่าสมการกำลังสองไม่มีคำตอบที่แท้จริง เขาชี้ให้เห็นว่าสูตรที่คุ้นเคยสำหรับรากนั้นแสดงว่าทั้งสองอย่างซับซ้อน นี่ไม่ใช่การใช้จำนวนเชิงซ้อนอย่างแท้จริง
อย่างไรก็ตามข้อบกพร่องเหล่านี้ทั้งหมดไม่ร้ายแรง อันที่จริง นักคณิตศาสตร์อาจพบว่าพวกเขากระตุ้นความคิดและคนอื่นๆ จะไม่สังเกตเห็น ในด้านบวก นาหินรวมอัญมณีจากทั่วทุกสารทิศคณิตศาสตร์ ตั้งแต่การประยุกต์ใช้ทางวิศวกรรมไปจนถึงอัตลักษณ์ทางคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่สวยงาม หัวข้อส่วนใหญ่ของเขาอยู่นอกเหนือหลักสูตรคณิตศาสตร์ทั่วไป นั่นคือข้อเท็จจริง เช่น ความไร้เหตุผลของ π ที่คุณอาจเคยได้ยินแต่ไม่เคยอธิบายอย่างละเอียด คงจะดีถ้ามีหนังสือแบบนี้อีกเว็บสล็อต
